5.2.8. Примеры решения задач по теме «Кривые 2-го порядка»
Определить тип уравнения кривой 2-го порядка:
Если L1·L2 > 0, то уравнение эллиптического типа;
Если L1·L2 0, следовательно, перед нами уравнение эллиптического типа.
В уравнении отсутствует произведение Ху, следовательно, квадратичная форма его старших членов имеет канонический вид; поэтому коэффициенты при Х2 и У2 являются собственными числами матрицы квадратичной формы. Итак, L1 = 4, L2 = 9, L1·L2 > 0, следовательно, перед нами уравнение эллиптического типа.
Геометрические образы, определяемые уравнением эллиптического типа:
— пустое множество («мнимый эллипс»).
Для приведения уравнения к каноническому виду нужно исключить из него слагаемые. Содержащие первые степени переменных. Для этого преобразуем левую часть:
Зададим параллельный перенос осей координат:
Тогда в новых координатах уравнение примет вид:
Каноническое уравнение эллипса.
Ответ: уравнение эллипса, канонический вид 
.
Привести уравнение к каноническому виду и указать геометрический образ, который оно определяет:
Собственные числа имеют разные знаки, значит, тип уравнения – гиперболический.
Геометрические образы, определяемые уравнением гиперболического типа:
— пара пересекающихся прямых.
Собственные числа имеют разные знаки, значит, тип уравнения – гиперболический.
Геометрические образы, определяемые уравнением гиперболического типа:
— пара пересекающихся прямых.
Заметим, что для данного уравнения нет необходимости искать явный вид преобразования координат, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Это связано с тем, что уравнение не содержит линейных членов, а его свободный член не изменится при преобразовании вида
Найденные собственные числа будут коэффициентами при Х2 и У2 для канонического вида квадратичной формы. Следовательно, в соответствующей координатной системе уравнение примет вид:
Каноническое уравнение гиперболы.
Ответ: уравнение гиперболического типа, канонический вид
.
Привести уравнение к каноническому виду и указать геометрический образ, который оно определяет:
Перед нами полное уравнение 2-го порядка, и для приведения его к каноническому виду потребуется провести оба преобразования координатных осей: поворот на такой угол, чтобы новые оси стали параллельными собственным векторам матрицы квадратичной формы (это преобразование квадратичной формы к каноническому виду), и параллельный перенос.
Перед нами полное уравнение 2-го порядка, и для приведения его к каноническому виду потребуется провести оба преобразования координатных осей: поворот на такой угол, чтобы новые оси стали параллельными собственным векторам матрицы квадратичной формы (это преобразование квадратичной формы к каноническому виду), и параллельный перенос.
Итак, тип уравнения – гиперболический.
Матрица перехода к новому базису:
.
Собственные векторы следует выбирать так, чтобы определитель матрицы перехода равнялся +1 – при этом не нарушается взаимное расположение координатных осей.
Запишем исходное уравнение в новых координатах:
2) Параллельный перенос:
В новых координатах получаем уравнение
Пара пересекающихся прямых.
Ответ: уравнение гиперболического типа, определяет пару пересекающихся прямых, канонический вид: У″ = ± 2Х″.
Не проводя преобразования координат, установить, что уравнение
Определяет прямую, и найти уравнение этой прямой.
Обратите внимание на то, что квадратичная форма, образованная старшими членами уравнения, является полным квадратом.
Иногда привести уравнение к простому виду удается с помощью алгебраических приемов. Представим левую часть уравнения в виде:
Ответ: уравнение определяет прямую Х – 3У + 2 = 0.
Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки
Найти его эксцентриситет.
По условию задачи оси координат являются осями симметрии эллипса, поэтому, во-первых, его уравнение имеет канонический вид, а во-вторых, полуось А равна абсциссе точки А.
По условию задачи оси координат являются осями симметрии эллипса, поэтому, во-первых, его уравнение имеет канонический вид:
А во-вторых, полуось А равна абсциссе точки А, т. е. А = 6. Найдем B, подставив в уравнение эллипса координаты точки М:
Итак, уравнение эллипса:
Тогда расстояние от фокуса до начала координат
Вычислим эксцентриситет эллипса:
Ответ: эксцентриситет 
Найдите расстояние от точки М до прямой У + 6 = 0, т. е. длину малой полуоси эллипса. Центром симметрии эллипса будет точка О пересечения прямых F1F2 (Y + 6 = 0) и МО, проходящей через точку М перпендикулярно F1F2.
Найдем расстояние от точки М до прямой У + 6 = 0, т. е. длину малой полуоси эллипса. Нормальный вид уравнения данной прямой: -у – 6 = 0, тогда
Центром симметрии эллипса будет точка О пересечения прямых F1F2 (Y + 6 = 0) и МО, проходящей через точку М перпендикулярно F1F2.
Поскольку прямая F1F2 параллельна оси абсцисс, прямая МО параллельна оси ординат; следовательно, ее уравнение: Х = 3. Тогда координаты точки О:
С учетом расположения осей эллипса можно утверждать, что в системе координат, полученной параллельным переносом начала координат в точку
Уравнение эллипса имеет канонический вид:
Найдем А из условия, что
Подставим найденные значения А и B в уравнение эллипса:
Ответ: уравнение эллипса: Х2 + 2У2 – 6Х + 24У + 31 = 0.
Составить уравнения директрис гиперболы.
Приведите уравнение гиперболы к каноническому виду и составьте уравнения директрис в виде
Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:
Осями симметрии являются координатные оси, А = 3, B = 4. Тогда
Ответ: уравнения директрис: 
Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 
Найдите вначале координаты вершин и фокусов эллипса, а затем определите коэффициенты А и B в каноническом уравнении гиперболы.
Координаты вершин гиперболы: (А; 0) и (-А; 0), координаты фокусов: (С; 0) и (–С; 0). Соответственно координаты вершин эллипса: (А1; 0) и (-А1; 0), координаты фокусов: (С1; 0) и (-С1; 0). У данного эллипса А1 = 5, 
Тогда для гиперболы А = 4, С = 5, откуда
,
И уравнение гиперболы:
Ответ: 
Составить уравнение касательной к гиперболе
Найдите вначале координаты нормали к гиперболе в точке М (если кривая задана уравнением F(X,Y) = 0, То нормаль к ней в точке М0=<Х;у0>
Имеет координаты: П = (F′X(X;Y);F′Y(X;Y))), а затем составьте уравнение прямой, проходящей через точку М=<15; 4
> перпендикулярно
Найдем координаты нормали к гиперболе в точке М.
Уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0;у0) перпендикулярно вектору П = <A, B>, имеет вид:
Запишем уравнение касательной:
Ответ: Уравнение касательной:
Используйте определение параболы: параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.
Используем определение параболы:
Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.
Пусть точка М(Х, У) лежит на параболе. Тогда ее расстояние до фокуса
Выразим через Х и У расстояние от точки М до директрисы.
Нормальное уравнение директрисы:
Из определения параболы DM = MF,
Ответ: уравнение параболы: Х2 + 2Ху + У2 – 6Х + 2У + 9 = 0.
Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола симметрична относительно оси Ох и проходит через точку А=<9; 6>. Найти координаты ее фокуса.
Из условий задачи следует, что данная парабола задается каноническим уравнением
Подставьте в это уравнение координаты точки А и найдите значение параметра Р параболы.
Из условий задачи следует, что данная парабола задается каноническим уравнением
Подставим в это уравнение координаты точки А: 36 = 2Р·9, откуда Р = 2.
Следовательно, уравнение параболы имеет вид: У2 = 4Х.
Координаты фокуса параболы задаются формулой: F=<0,5P; 0>, то есть F=<1; 0>.
Ответ: уравнение параболы: У2 = 4Х; фокус F=<1; 0>.
Кривые второго порядка
или можно встретить следующую форму записи:
К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Покажем на примере определение значений коэффициентов.
Рассмотрим кривую второго порядка:
Вычислим определитель из коэффициентов:
Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,
если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,
 |
 |
 |  |
Содержание:
Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения 
, т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.
Возможны два вида задач:
Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.
Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:
Эллипс
Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек 
, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между 
).
Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:
(7.5)
Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку 
координаты которой задаются формулами 
будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением 
Число 
называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет 
характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении 
становится более вытянутым
Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е. 
Гипербола
Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек 
есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между 
).
Тогда 
А расстояние 
Подставив в формулу r=d, будем иметь
. Возведя обе части равенства в квадрат, получим
или
(9.4.1)
Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения 
также определяют параболы.
Легко показать, что уравнение 
, определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а 
О. Для этого выделим полный квадрат:
и сделаем параллельный перенос по формулам
Пример:
Кривые второго порядка на плоскости
Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:
где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю 
Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.
Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.
Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению
которое называют каноническим уравнением эллипса.
Число а называют большей полуосью эллипса, число 
— мень-
Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.
В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид 
и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.
Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:
Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы 
и характеризует форму эллипса. Для окружности 
Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.
Пример:
Показать, что уравнение
является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.
Решение:
Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:
— каноническое уравнение эллипса с центром в точке 
большей полуосью а=3 и меньшей полуосью 
Найдем эксцентриситет эллипса:
Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке 
а оси 
параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е. 
В новой системе координат координаты 
вершин и фокусов гиперболы будут следующими:
Переходя к старым координатам, получим:
Построим график эллипса.
Задача решена.
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
detector