кривая задана уравнением y x 2 3 какая это кривая

5.2.8. Примеры решения задач по теме «Кривые 2-го порядка»

Определить тип уравнения кривой 2-го порядка:

Если LL2 > 0, то уравнение эллиптического типа;

Если LL2 0, следовательно, перед нами уравнение эллиптического типа.

В уравнении отсутствует произведение Ху, следовательно, квадратичная форма его старших членов имеет канонический вид; поэтому коэффициенты при Х2 и У2 являются собственными числами матрицы квадратичной формы. Итак, L1 = 4, L2 = 9, LL2 > 0, следовательно, перед нами уравнение эллиптического типа.

Геометрические образы, определяемые уравнением эллиптического типа:

— пустое множество («мнимый эллипс»).

Для приведения уравнения к каноническому виду нужно исключить из него слагаемые. Содержащие первые степени переменных. Для этого преобразуем левую часть:

image498

image499

Зададим параллельный перенос осей координат:

image500

Тогда в новых координатах уравнение примет вид:

image501

Каноническое уравнение эллипса.

Ответ: уравнение эллипса, канонический вид image502.

Привести уравнение к каноническому виду и указать геометрический образ, который оно определяет:

Собственные числа имеют разные знаки, значит, тип уравнения – гиперболический.

Геометрические образы, определяемые уравнением гиперболического типа:

— пара пересекающихся прямых.

image503

Собственные числа имеют разные знаки, значит, тип уравнения – гиперболический.

Геометрические образы, определяемые уравнением гиперболического типа:

— пара пересекающихся прямых.

Заметим, что для данного уравнения нет необходимости искать явный вид преобразования координат, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Это связано с тем, что уравнение не содержит линейных членов, а его свободный член не изменится при преобразовании вида

image504

Найденные собственные числа будут коэффициентами при Х2 и У2 для канонического вида квадратичной формы. Следовательно, в соответствующей координатной системе уравнение примет вид:

image505

Каноническое уравнение гиперболы.

Ответ: уравнение гиперболического типа, канонический вид

image506.

Привести уравнение к каноническому виду и указать геометрический образ, который оно определяет:

Перед нами полное уравнение 2-го порядка, и для приведения его к каноническому виду потребуется провести оба преобразования координатных осей: поворот на такой угол, чтобы новые оси стали параллельными собственным векторам матрицы квадратичной формы (это преобразование квадратичной формы к каноническому виду), и параллельный перенос.

Перед нами полное уравнение 2-го порядка, и для приведения его к каноническому виду потребуется провести оба преобразования координатных осей: поворот на такой угол, чтобы новые оси стали параллельными собственным векторам матрицы квадратичной формы (это преобразование квадратичной формы к каноническому виду), и параллельный перенос.

image507

Итак, тип уравнения – гиперболический.

image508

Матрица перехода к новому базису:

image509

image510.

Собственные векторы следует выбирать так, чтобы определитель матрицы перехода равнялся +1 – при этом не нарушается взаимное расположение координатных осей.

Запишем исходное уравнение в новых координатах:

image511

2) Параллельный перенос:

image512

В новых координатах получаем уравнение

image513

Пара пересекающихся прямых.

Ответ: уравнение гиперболического типа, определяет пару пересекающихся прямых, канонический вид: У″ = ± 2Х″.

Не проводя преобразования координат, установить, что уравнение

Определяет прямую, и найти уравнение этой прямой.

Обратите внимание на то, что квадратичная форма, образованная старшими членами уравнения, является полным квадратом.

Иногда привести уравнение к простому виду удается с помощью алгебраических приемов. Представим левую часть уравнения в виде:

Ответ: уравнение определяет прямую Х – 3У + 2 = 0.

Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки

image514

Найти его эксцентриситет.

По условию задачи оси координат являются осями симметрии эллипса, поэтому, во-первых, его уравнение имеет канонический вид, а во-вторых, полуось А равна абсциссе точки А.

Читайте также:  котенок какая с кровью

image515

По условию задачи оси координат являются осями симметрии эллипса, поэтому, во-первых, его уравнение имеет канонический вид:

image516

А во-вторых, полуось А равна абсциссе точки А, т. е. А = 6. Найдем B, подставив в уравнение эллипса координаты точки М:

image517

Итак, уравнение эллипса:

image518

Тогда расстояние от фокуса до начала координат

image519

Вычислим эксцентриситет эллипса:

image520

Ответ: эксцентриситет image521

Найдите расстояние от точки М до прямой У + 6 = 0, т. е. длину малой полуоси эллипса. Центром симметрии эллипса будет точка О пересечения прямых F1F2 (Y + 6 = 0) и МО, проходящей через точку М перпендикулярно F1F2.

image523

Найдем расстояние от точки М до прямой У + 6 = 0, т. е. длину малой полуоси эллипса. Нормальный вид уравнения данной прямой: – 6 = 0, тогда

Центром симметрии эллипса будет точка О пересечения прямых F1F2 (Y + 6 = 0) и МО, проходящей через точку М перпендикулярно F1F2.

Поскольку прямая F1F2 параллельна оси абсцисс, прямая МО параллельна оси ординат; следовательно, ее уравнение: Х = 3. Тогда координаты точки О:

С учетом расположения осей эллипса можно утверждать, что в системе координат, полученной параллельным переносом начала координат в точку

image524

Уравнение эллипса имеет канонический вид:

image525

Найдем А из условия, что

image526

Подставим найденные значения А и B в уравнение эллипса:

image527

Ответ: уравнение эллипса: Х2 + 2У2 – 6Х + 24У + 31 = 0.

Составить уравнения директрис гиперболы.

Приведите уравнение гиперболы к каноническому виду и составьте уравнения директрис в виде

image528

image529

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:

image530

Осями симметрии являются координатные оси, А = 3, B = 4. Тогда

image531

image532

Ответ: уравнения директрис: image533

Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса image534

Найдите вначале координаты вершин и фокусов эллипса, а затем определите коэффициенты А и B в каноническом уравнении гиперболы.

Координаты вершин гиперболы: (А; 0) и (-А; 0), координаты фокусов: (С; 0) и (–С; 0). Соответственно координаты вершин эллипса: (А1; 0) и (-А1; 0), координаты фокусов: (С1; 0) и (-С1; 0). У данного эллипса А1 = 5, image535

Тогда для гиперболы А = 4, С = 5, откуда

image536,

И уравнение гиперболы:

image537

Ответ: image538

Составить уравнение касательной к гиперболе

image539

Найдите вначале координаты нормали к гиперболе в точке М (если кривая задана уравнением F(X,Y) = 0, То нормаль к ней в точке М0=<Х0>

Имеет координаты: П = (FX(X;Y);FY(X;Y))), а затем составьте уравнение прямой, проходящей через точку М=<15; 4image540> перпендикулярно

Найдем координаты нормали к гиперболе в точке М.

image541

Уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0;у0) перпендикулярно вектору П = <A, B>, имеет вид:

Запишем уравнение касательной:

image542

Ответ: Уравнение касательной:

image543

Используйте определение параболы: параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Используем определение параболы:

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Пусть точка М(Х, У) лежит на параболе. Тогда ее расстояние до фокуса

image544

Выразим через Х и У расстояние от точки М до директрисы.

Нормальное уравнение директрисы:

image545

Из определения параболы DM = MF,

image546

Ответ: уравнение параболы: Х2 + 2Ху + У2 – 6Х + 2У + 9 = 0.

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола симметрична относительно оси Ох и проходит через точку А=<9; 6>. Найти координаты ее фокуса.

Читайте также:  какую способность материала отражает коэффициент размягчения

Из условий задачи следует, что данная парабола задается каноническим уравнением

Подставьте в это уравнение координаты точки А и найдите значение параметра Р параболы.

Из условий задачи следует, что данная парабола задается каноническим уравнением

Подставим в это уравнение координаты точки А: 36 = 2Р·9, откуда Р = 2.

Следовательно, уравнение параболы имеет вид: У2 = 4Х.

Координаты фокуса параболы задаются формулой: F=<0,5P; 0>, то есть F=<1; 0>.

Ответ: уравнение параболы: У2 = 4Х; фокус F=<1; 0>.

Источник

Кривые второго порядка

Krv2poryadka

kr2poryadka formula 1

kr2poryadka formula 3

или можно встретить следующую форму записи:

kr2poryadka formula 2

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

kr2poryadka formula 4

Рассмотрим кривую второго порядка:

kr2poryadka formula 1

Вычислим определитель из коэффициентов:

kr2poryadka formula 5

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

kr2poryadka formula 7

kr2poryadka formula 8

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

kr2poryadka formula 8

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

kr2poryadka formula 25

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x;y), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

kr2poryadka formula 23

kr2poryadka formula 9

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

kr2poryadka formula 6

kr2poryadka formula 11

kr2poryadka formula 12

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

kr2poryadka formula 12

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x;y), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

kr2poryadka formula 24

kr2poryadka formula 9

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

kr2poryadka formula 13

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

kr2poryadka formula 15

kr2poryadka formula 14

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

kr2poryadka formula 10
kr2poryadka formula 16 kr2poryadka formula 17

Источник

Содержание:

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения 14027, т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

Первая задача сводится к построению графика уравнения 14027и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек 14075, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между 14076).

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

14221(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку 14227координаты которой задаются формулами 14232будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением 14242

Число 14248называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет 14251характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении 14253становится более вытянутым

14259

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е. 14298

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек 14305есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между 14306).

34494

Тогда 34823А расстояние 36284Подставив в формулу r=d, будем иметь36259. Возведя обе части равенства в квадрат, получим36267

36269или

36273(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения 36282также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение 36305, определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а 361939О. Для этого выделим полный квадрат:

36308

и сделаем параллельный перенос по формулам36320 eQjneva36323

Пример:

36384

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

3719

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю 3721

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

3744которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число 3747— мень-

3759

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид 3767и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

3773

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы 3786и характеризует форму эллипса. Для окружности 3789Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

3792

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

3794

3795— каноническое уравнение эллипса с центром в точке 3798большей полуосью а=3 и меньшей полуосью 3800

Найдем эксцентриситет эллипса:

3803

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке 3805а оси 3806параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е. 3808

В новой системе координат координаты 3812вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

3816

Переходя к старым координатам, получим:

3819

Построим график эллипса.

3822Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Поделиться с друзьями
admin
Adblock
detector